三角变换公式在数学中，三角函数的变换是解决各类几何、物理和工程难题的重要工具。掌握常见的三角变换公式，有助于简化计算、进步解题效率。下面内容是对常用三角变换公式的划重点，并以表格形式进行清晰展示。
一、基本三角恒等式
1. 毕达哥拉斯恒等式
– $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
– $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
– $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系
– $\sin\theta = \frac1}\csc\theta}$
– $\cos\theta = \frac1}\sec\theta}$
– $\tan\theta = \frac1}\cot\theta}$
3. 商数关系
– $\tan\theta = \frac\sin\theta}\cos\theta}$
– $\cot\theta = \frac\cos\theta}\sin\theta}$
二、角度和差公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦和差公式 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 余弦和差公式 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 正切和差公式 | $\tan(A \pm B) = \frac\tan A \pm \tan B}1 \mp \tan A \tan B}$ |
三、倍角与半角公式
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 正弦倍角公式 | $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$ |
| 余弦倍角公式 | $\cos 2\theta = \cos^2\theta – \sin^2\theta = 2\cos^2\theta – 1 = 1 – 2\sin^2\theta$ |
| 正切倍角公式 | $\tan 2\theta = \frac2\tan\theta}1 – \tan^2\theta}$ |
| 正弦半角公式 | $\sin \frac\theta}2} = \pm \sqrt\frac1 – \cos\theta}2}}$ |
| 余弦半角公式 | $\cos \frac\theta}2} = \pm \sqrt\frac1 + \cos\theta}2}}$ |
四、积化和差与和差化积
| 公式名称 | 公式表达式 |
| 积化和差（正弦） | $\sin A \cos B = \frac1}2}[\sin(A + B) + \sin(A – B)]$ |
| 积化和差（余弦） | $\cos A \cos B = \frac1}2}[\cos(A + B) + \cos(A – B)]$ |
| 积化和差（正弦） | $\sin A \sin B = \frac1}2}[\cos(A – B) – \cos(A + B)]$ |
| 和差化积 | $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\fracA+B}2}\right)\cos\left(\fracA-B}2}\right)$ |
| $\sin A – \sin B = 2\cos\left(\fracA+B}2}\right)\sin\left(\fracA-B}2}\right)$ | |
| $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\fracA+B}2}\right)\cos\left(\fracA-B}2}\right)$ | |
| $\cos A – \cos B = -2\sin\left(\fracA+B}2}\right)\sin\left(\fracA-B}2}\right)$ |
五、其他常用公式
– 正弦与余弦的互换：$\sin\theta = \cos(90^\circ – \theta)$
– 周期性：$\sin(\theta + 2\pi) = \sin\theta$，$\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta$
– 奇偶性：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，$\cos(-\theta) = \cos\theta$
拓展资料
三角变换公式是进修三角函数的核心内容其中一个，涵盖了从基础恒等到复杂变换的多个方面。熟练掌握这些公式，不仅可以提升解题速度，还能增强对三角函数性质的领会。通过合理运用这些公式，能够更高效地处理各种涉及角度、周期性和波动的难题。
表：三角变换公式汇总表
| 类别 | 公式内容 |
| 基本恒等式 | $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$；$\tan^2\theta + 1 = \sec^2\theta$ |
| 和差公式 | $\sin(A \pm B)$、$\cos(A \pm B)$、$\tan(A \pm B)$ |
| 倍角公式 | $\sin 2\theta$、$\cos 2\theta$、$\tan 2\theta$ |
| 半角公式 | $\sin \frac\theta}2}$、$\cos \frac\theta}2}$ |
| 积化和差 | $\sin A \cos B$、$\cos A \cos B$、$\sin A \sin B$ |
| 和差化积 | $\sin A \pm \sin B$、$\cos A \pm \cos B$ |
| 其他 | 周期性、奇偶性、正余弦互换等 |
以上内容为原创划重点，适用于学生复习或教学参考。
